Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點O為坐標原點建立坐標系，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為1cm/秒，設P、Q移動時間為t（0≤t≤4）
（1）過點P做PM⊥OA于M，求證：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P點的坐標（用t表示）；
（2）求△OPQ面積S（cm²），與運動時間t（秒）之間的函數關系式，當t為何值時，S有最大值？最大是多少？
（3）當t為何值時，△OPQ為直角三角形？
（4）證明無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形．若點P運動速度不變改變Q的運動速度，使△OPQ為正三角形，求Q點運動的速度和此時t的值．

Answer 1

（1）證明：∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB===5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，OM=OA-AM=3-t，
∴點P的坐標為（t，3-t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-t²+t
=-（t-）²+，
∴當t=時，S有最大值，最大值為；

（3）作PN⊥OB于N，
∵△OPQ為直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴，
∴（3-t）²=t（t-t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；

（4）∵ON=t，OQ=t，
∴0Q≠2ON，
∴無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形；
要使△OPQ為正三角形，
則0Q=2ON=t，
∴Q點的速度為cm/s，
此時3-t=t•，
解得t=．
分析：（1）先證明PM∥OB，再根據相似三角形對應邊成比例證明即可；利用勾股定理求出AB的長度，而AP=t，再根據對應邊成比例求出AM、PM的值，P點坐標即可得到；
（2）根據三角形的面積公式，P點縱坐標與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據二次函數的最值問題求解即可；
（3）作OQ邊上的高，根據△PON和△QPN相似，相似三角形對應邊成比例，列式求解；
（4）根據正三角形的性質PN垂直平分邊OQ，所以無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點速度根據正三角形的性質，0Q=2ON，PN=OQ分別列式求解即可得到Q點運動速度和時間t．
點評：本題綜合性較強主要利用相似三角形對應邊成比例的性質，等邊三角形的高與底邊的性質，只要肯于動腦也不難解決．