Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸交于（1，0）（5，0）兩點，若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點E，再到達拋物線的對稱軸上某點F，最后運動到點A，則使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標分別是：E    ，F    ．

Answer 1

【答案】分析：作出草圖，根據拋物線與x軸的交點求出對稱軸為直線x=3，再求出點A關于對稱軸的對稱點A′，點M關于x軸的對稱點M′，連接A′M′，根據軸對稱確定最短路線問題，A′M′的長度為點P運動的總路徑最短長度，然后利用待定系數法求出直線A′M′的解析式，令y=0求出點E的坐標，令x=3求出點F的坐標即可．
解答：解：如圖，∵拋物線與x軸交于（1，0）（5，0）兩點，
∴拋物線的對稱軸為直線x==3，
∴點A（0，3）關于直線x=3的對稱點A′為（6，3），
又∵OA的中點M為（0，），
∴點M關于x軸的對稱點M′為（0，-），
連接A′M′與x軸的交點、與對稱軸的交點即為所求的點E、F，
設直線A′M′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線A′M′的解析式為y=x-，
令y=0，則x-=0，
解得x=2，
令x=3，則y=×3-=，
所以，點E（2，0），F（3，）．
故答案為：E（2，0）；（3，）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線的對稱性，利用軸對稱確定最短路線問題，找出點A、M的對稱點，確定出總路徑最短時的點E、F的位置是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．