Question

圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2．當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．
﹙1﹚求AP長的取值范圍；
﹙2﹚在陽光垂直照射下，傘張得最開時，求傘下的陰影﹙假定為圓面﹚面積S﹙結果保留π﹚．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得AC=CN+PN，進一步求得AB的長，即可求得AP的取值范圍；
（2）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據菱形CMPN的性質求得MB的長，再根據相似三角形的對應邊的比相等，求得圓的半徑，再利用二次函數增減性求出即可．

解答：解：（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=AC-BC=10分米．
∴設AP=x，則AP的取值范圍是：0≤x≤10；

（2）連接MN、EF，分別交AC于B、H．
設AP=x分米，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四邊形PNCM是菱形．
∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，
PB=

PC

2

．
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB²=PM²-PB²=6²-（6-

1

2

x）²=6x-

1

4

x²．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴

MB

EH

=

CM

CE

．
∴

MB2

EH2

=（

6

18

）²=

1

9

∴EH²=9•MB²=9•（6x-

1

4

x²）．
∴S=π•EH²=9π（6x-

1

4

x²），
即S=-

9

4

πx²+54πx，
∵x=-

b

2a

=12，0≤x≤10，
∴x=10時，S_最大=-

9

4

π×100+54π×10=315π（平方分米）．

點評：此題主要考查了相似三角形的應用以及菱形的性質和二次函數的應用，熟練運用菱形的性質、相似三角形的性質得出S與x的函數關系式是解題關鍵．