Question

（2013•惠城區模擬）如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（1，-2）．
（1）求此函數的關系式；
（2）求P點坐標；
（3）作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據頂點式直接寫出函數解析式；
（2）令x=0，代入y=（x-1）²-2，即可求出函數圖象與y軸的交點；
（3）求出M點的坐標，然后利用待定系數法求出直線PM的解析式，與拋物線解析式聯立組成方程組即可求出E點坐標．

解答：解：（1）∵函數的圖象頂點為C（1，-2），
∴函數關系式可表示為y=（x-1）²-2，
即y=x²-2x-1，
（2）當x=0時，y=-1，則有P（0，-1）．
（3）設直線PE的函數關系式為y=kx+b，
由題意知四邊形ACBD是菱形，
∴直線PE必經過菱形的中心M，
由P（0，-1），M（1，0）得

b=-1 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線PE的函數關系式為y=x-1，
聯立方程組，得

y=x2-2x-1 y=x-1

解得x1=0(舍去)，x2=3
∴點E的坐標為（3，2）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點式和函數解析式與方程組的解的關系，綜合性較強．