Question

（2009•中山）如圖所示，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD．
（1）用尺規作圖的方法，過D點作DM⊥BE，垂足是M；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：BM=EM．

Answer 1

【答案】分析：（1）按照過直線外一點作已知直線的垂線步驟做；
（2）要證BM=EM可證BD=DE，根據三線合一得出BM=EM．
解答：（1）解：作圖如下；

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點
∴BD平分∠ABC（三線合一）
∴∠ABC=2∠DBE
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ABC=∠ACB
∴2∠DBC=2∠E
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵DM⊥BE
∴BM=EM．
點評：本題考查了過直線外一點作已知直線的垂線及考查了等邊三角形和等腰三角形的性質；作圖題要注意保留做題痕跡．證得BD=DE是正確解答本題的關鍵．