Question

已知⊙O過點D（3，4），點H與點D關于x軸對稱，過H作⊙O的切線交x軸于點A．
（1）求直線HA的函數解析式；
（2）求sin∠HAO的值；
（3）如圖，設⊙O與x軸正半軸交點為P，點E、F是線段OP上的動點（與點P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OH，作HK⊥x軸于k，根據關于x軸對稱的坐標特點得到H點坐標為（3，-4），再根據切線的性質由AH為⊙O的切線，得到OH⊥AH，利用等角的余角相等得到∠OAH=∠KHO，根據三角形相似的判定得RtAKH∽Rt△HKO，則AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，求出AK=，易得A點坐標為（，0），然后利用待定系數法求直線AH的解析式；
（2）在Rt△OKH中，利用勾股定理計算出OH=5，然后在Rt△OAH中，利用正弦的定義即可得到sin∠HAO的值；
（3）過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，根據垂徑定理得到OM垂直平分DN，即D點與N點關于x軸對稱，則N點坐標為（3，-4），ON=5；由DM⊥EF根據等腰三角形的性質可得DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，根據圓周角定理的推論得到弧BN=弧CN，然后利用垂徑定理的推論可得OT⊥BC，利用等角的余角相等得到∠TGO=∠MNO，在Rt△OMN，OM=3，MN=4，利用正弦的定義即可得到sin∠MNO==，則sin∠CGO=，即sin∠CGO的大小不變．
解答：解：（1）如圖，連OH，作HK⊥x軸于k，
∵點D（3，4），點H與點D關于x軸對稱，
∴H點坐標為（3，-4），
∵AH為⊙O的切線，
∴OH⊥AH，
∴∠AOH+∠OAH=90°，∠KOH+∠KHO=90°，
∴∠OAH=∠KHO，
∴Rt△AKH∽Rt△HKO，
∴AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，
∴AK=，
∴OA=OK+AK=3+=，
∴A點坐標為（，0），
設直線HA的函數解析式為y=kx+b，
把H（3，-4），A（，0）代入得，
解得，
∴直線HA的函數解析式為y=x-；

（2）在Rt△OKH中，OH==5，
在Rt△OAH中，sin∠HAO===；

（3）sin∠CGO的大小不變．理由如下：
過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，如圖，
則OM垂直平分DN，即D點與N點關于x軸對稱，
則N點坐標為（3，-4），ON=5，
又∵△DEF為等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，
∴弧BN=弧CN，
∴OT⊥BC，
∴∠TGO+∠GOT=90°，
而∠MNO+∠MON=90°，
∴∠TGO=∠MNO，
在Rt△OMN，OM=3，MN=4，
∴sin∠MNO==，
∴sin∠CGO=．
即當E、F兩點在OP上運動時（與點P不重合），sin∠CGO的值不變．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；平分弦所對的弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；運用待定系數法求函數的解析式以及關于坐標軸對稱的點的坐標特點；運用相似三角形的判定與性質和勾股定理進行幾何計算．