Question

【題目】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．

（1）求證：AE是∠DAB的平分線；

（2）探究：線段AD、AB、CD之間有何數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）作EF⊥AD于F，由角平分線的性質就可以得出EF=EC，就可以得出EF=EB，由∠B=90°就可以得出結論；
（2）先由△DEC≌△DEF得出EC=EF，再由△AEB≌△AEF就可以得出AB=AF進而就可以得出AD=AB+CD．

解：（1）作EF⊥AD于F，

∴∠DFE=∠AFE=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．

∴CB⊥AB，CB⊥CD．

∵DE平分∠ADC．

∴∠EDC=∠EDF，CE=CF．

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∴BE=EF．

在Rt△AEB和Rt△AEF中，

∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴∠EAB=∠EAF，

∴AE是∠DAB的平分線；

（2）在△DEC和△DEF中，

∴△DEC≌△DEF（AAS），

∴CD=FD．EC=EF．

∴在Rt△AEB和Rt△AEF中，，

∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴AB=AF．

∵AD=AF+DF，

∴AD=AB+CD．