Question

如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，∠ACD=15°，點(diǎn)B、點(diǎn)E關(guān)于CD對(duì)稱，連BE交CD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，連DE交AC于點(diǎn)F．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）求證：AF=CG；
（3）若AD=

1

2

，CD=

3

2

，則BH=

7

4

．

Answer 1

分析：（1）求出∠CDB，根據(jù)軸對(duì)稱得出∠EDC=∠CDB=60°，即可得出答案．
（2）過A作AM⊥AC交ED延長(zhǎng)線于M，證△ADM≌△ADC，推出AC=AM=BC，證△AFM≌△CBG，即可推出答案．
（3）過A作AQ⊥CD交CD延長(zhǎng)線于Q，求出DQ，求出CQ，證△AQC≌△CHB，推出BH=CQ即可．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，∠ACD=15°，
∴∠DCB=75°，
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠CBA=45°，
∴∠CDB=180°-45°-75°=60°，
∵點(diǎn)B、點(diǎn)E關(guān)于CD對(duì)稱，
∴∠EDC=∠CDB=60°，
∴∠ADF=180°-60°-60°=60°；

（2）證明：過A作AM⊥AC交ED延長(zhǎng)線于M，
則∠FAM=90°=∠BCG，∠MAD=90°-45°=45°=∠CAD，
∵∠MAD=45°，∠ADF=60°，
∴∠M=60°-45°=15°=∠ACD，
∵點(diǎn)B、點(diǎn)E關(guān)于CD對(duì)稱，
∴CD⊥BE，
∴∠CHG=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠CBG+∠CGB=∠CGB+∠ACD=90°，
∴∠CBG=∠ACD=15°，
在△ACD和△AMD中，

∠CAD=∠MAD ∠ACD=∠M AD=AD

，
∴△ACD≌△AMD（AAS），
∴AC=AM=BC，
在△FAM和△GCB中，

∠M=∠CBG AM=BC ∠FAM=∠GCB

，
∴△FAM≌△GCB（ASA），
∴AF=CG；

（3）解：過A作AQ⊥CD交CD延長(zhǎng)線于Q，
∵在△AQD中，∠Q=90°，∠QAD=90°-∠ADQ=90°-∠CDB=90°-60°=30°，AD=

1

2

，
∴DQ=

1

2

AD=

1

4

，
∴CQ=

1

4

+

3

2

=

7

4

，
在△AQC和△CHB中，

∠ACD=∠CBH=15° ∠Q=∠CHB=90° AC=BC

∴△AQC≌△CHB（AAS），
∴BH=CQ=

7

4

．
故答案為：

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，難度偏大．