Question

（2005•鎮江）已知二次函數的圖象經過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設這個二次函數的圖象與直線y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點（x₁≠x₂）．
①求t的取值范圍；
②設m=y₁²+y₂²，求m與t之間的函數關系式及m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于圖象過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點，可以設出一般式，用待定系數法解答；
（2）因為二次函數與直線有兩個交點，根據函數圖象的交點個數與它們組成的方程組的解的個數的關系，可以利用根的判別式解答．
解答：解：（1）將（0，0），（1，-1），（-2，14）代入三點，
得，
解得a=2，b=-3，c=0，
二次函數解析式為y=2x²-3x．

（2）①當t=1時，直線y=x+t（t≤1）可化為y=x+1，
代入二次函數解析式y=2x²-3x得，2x²-4x-1=0，
△=（-4）²-4×2×（-1）=24＞0，
故直線與拋物線有兩個不同的交點．
②當直線與拋物線相切時t取得最小值，
把y=x+t代入拋物線y=2x²-3x得，2x²-4x-t=0．
△=（-4）²-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范圍是-2＜t≤1．
點評：此題將用待定系數法求函數解析式、函數圖象的交點個數與它們組成的方程組的解的個數的關系以及根的判別式結合起來，綜合性較強，有一定的難度．