Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．
（1）求弦AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值？若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；
（3）記△ABC的面積為S，若=4，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，OP與AB的交點為F，則△OAF為直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求得AF的長；
（2）要判斷∠ACB是否為定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的內切圓，所以AD和BD分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所對的圓周角，這個值等于∠AOB值的一半；
（3）由題可知S=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD=DE（AB+AC+BC），又因為=4，所以AB+AC+BC=8DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH=DH=DE，同理可得CG=DE，又由于AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2DE+2，可得8DE=2DE+2，解得：DE=，代入AB+AC+BC=8DE，即可求得周長為．
解答：解：（1）連接OA，取OP與AB的交點為F，則有OA=1．
∵弦AB垂直平分線段OP，
∴OF=OP=，AF=BF，
在Rt△OAF中，
∵AF===，
∴AB=2AF=．

（2）∠ACB是定值．
理由：連接AD、BD，
由（1），OF=，AF=，
∴tan∠AOP==，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∵點D為△ABC的內心，
∴∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
∵∠DAE+∠DBA=∠AOD+∠DOB=∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．

（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分別為G，H，連接OD．
連接DG，DC，DH，則有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴S=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=（AB+BC+AC）•DE=l•DE，
∵=4，
∴=4，
∴l=8DE，
∵CG，CH是⊙D的切線，
∴∠GCD=∠ACB=30°，
∴在Rt△CGD中，CG===DE，
∴CH=CG=DE，
又由切線長定理可知AG=AE，BH=BE，
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE，
解得DE=，
∴△ABC的周長為．
點評：本題巧妙將垂徑定理、勾股定理、內切圓、切線長定理、三角形面積等知識綜合在一起，需要考生從前往后按順序解題，前面問題為后面問題的解決提供思路，是一道難度較大的綜合題．