Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠ADC與∠BCD的平分線的交點E落在AB上，下列結論：①AD+BC=DC；②DE²=DA•DC；③AB²=2AD•BC；④若設AD=a，AB=b，BC=c，則關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根，其中正確的結論有（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：由已知易證△ADE∽△EDC∽△BEC，根據相似三角形的性質，易證②④正確，再根據直角三角形的性質，證得①正確．
解答：解：①取DC的中點F，連接FE，
∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180°，
又∵DE、EC分別平分∠ADC與∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠DEC=90°，
∵點F是DC的中點，
∴EF=DF，CF=EF，DC=2FE，
∴∠FEC=∠FCE=∠ECB，
∴EF∥BC，
∴點E是AB的中點，
∴EF是梯形的中位線，
∴AD+BC=2FE=DC．故①正確．
②在直角梯形ABCD中，
∠A=∠DEC=90°，∠AED=∠ECD，
∴△ADE∽△EDC，
∴，
即DE²=DA•DC．故②正確．
③在直角梯形ABCD中，
∠A=∠B=90°，∠AED=∠ECB，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
由①知，AE=BE，
AE²=AD•BC，
即AB²=4AD•BC．故③錯誤．
④若設AD=a，AB=b，BC=c，
由③知，AB²=4AD•BC，
即b²=4ac，所以b²-4ac=0，
∴關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根．
故答案選C．
點評：本題綜合考查了三角形相似的判定和一元二次方程根的判別式知識，題目典型，難度較大．