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如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,∠ADC與∠BCD的平分線的交點E落在AB上,下列結論:①AD+BC=DC;②DE2=DA•DC;③AB2=2AD•BC;④若設AD=a,AB=b,BC=c,則關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根,其中正確的結論有( )

A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
【答案】分析:由已知易證△ADE∽△EDC∽△BEC,根據相似三角形的性質,易證②④正確,再根據直角三角形的性質,證得①正確.
解答:解:①取DC的中點F,連接FE,
∵直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,
∠ADC+∠BCD=180°,
又∵DE、EC分別平分∠ADC與∠BCD,
∴∠EDC+∠ECD=90°,
∴∠DEC=90°,
∵點F是DC的中點,
∴EF=DF,CF=EF,DC=2FE,
∴∠FEC=∠FCE=∠ECB,
∴EF∥BC,
∴點E是AB的中點,
∴EF是梯形的中位線,
∴AD+BC=2FE=DC.故①正確.
②在直角梯形ABCD中,
∠A=∠DEC=90°,∠AED=∠ECD,
∴△ADE∽△EDC,

即DE2=DA•DC.故②正確.
③在直角梯形ABCD中,
∠A=∠B=90°,∠AED=∠ECB,
∴△ADE∽△BEC,

由①知,AE=BE,
AE2=AD•BC,
即AB2=4AD•BC.故③錯誤.
④若設AD=a,AB=b,BC=c,
由③知,AB2=4AD•BC,
即b2=4ac,所以b2-4ac=0,
∴關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根.
故答案選C.
點評:本題綜合考查了三角形相似的判定和一元二次方程根的判別式知識,題目典型,難度較大.
練習冊系列答案
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20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點.將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結果精確到0.1cm)

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動,E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關于t的函數關系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F,交CD于點G、H.過點F引⊙O的切線交BC于點N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點E、F分別是腰AD、BC上的動點,點G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數關式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發,點P以2cm/s的速度向點B移動,點Q以1cm/s的速度向點D移動,當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動.
(1)經過幾秒鐘,點P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時的移動時間;若不存在,請說明理由.

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