Question

已知：在△ABC中，∠ACB為銳角，D是射線BC上一動點（D與C不重合）．以AD為一邊向右側作等邊△ADE（C與E不重合），連接CE．
（1）若△ABC為等邊三角形，當點D在線段BC上時，（如圖1所示），則直線BD與直線CE所夾銳角為

60

度；
（2）若△ABC為等邊三角形，當點D在線段BC的延長線上時（如同2所示），你在（1）中得到的結論是否仍然成立？請說明理由；
（3）若△ABC不是等邊三角形，且BC＞AC（如圖3所示）．試探究當點D在線段BC上時，你在（1）中得到的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請指出當∠ACB滿足什么條件時，能使（1）中的結論成立？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC為等邊三角形，等邊△ADE，得出△ABD≌△ACE，進而得出∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，從而得出答案；
（2）根據△ABC與△ADE都是等邊三角形，得出△BAD≌△CAE，進而得出∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°；
（3）分別根據當CD＜AC時，當CD=AC時，當CD＞AC時，分別分析得出答案．

解答：解：（1）若△ABC為等邊三角形，當點D在線段BC上時，△ABC為等邊三角形，等邊△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，
∵∠ABD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠ABD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，
∴直線BD與直線CE所夾銳角為 60°；
 
（2）仍然有直線BD與直線CE所夾銳角為60°，
證明：∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，

（3）問題（1）中結論不成立，當∠ACB=60°時，能使直線BD與直線CE所夾銳角為60°，
證法一：①當CD＜AC時，在CB上截取一點G，使得CG=CA，連接AG（如圖所示），
∵∠ACB=60°，
∴△GAC是等邊三角形，
∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，
從而∠CAE=∠GAD，
∴△ACE≌△AGD，
∴∠ACE=∠AGD=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，
此時直線BC與直線CE所夾銳角為60°，
②當CD=AC時，點C與點E重合，不符合題意．
③當CD＞AC時，延長EC到H，在CB上截取一點G，使得CG=CA，連接AG（如圖所示）．
同（1）可證△ACE≌△AGD．
∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，
∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°，
此時直線BC與直線CE所夾銳角為60°．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，根據已知進行分類討論當CD＜AC時，當CD=AC時，當CD＞AC時得出答案是解題關鍵．