Question

26、如圖1，直線AC∥BD，直線AC、BD及直線AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個部分．點P是其中的一個動點，連接PA、PB，觀察∠APB、∠PAC、∠PBD三個角．規定：直線AC、BD、AB上的各點不屬于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六個部分中的任何一個部分．
當動點P落在第（1）部分時，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，請閱讀下面的解答過程，并在相應的括號內填注理由
解：過點P作EF∥AC，如圖2
因為AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD

（平行線的傳遞性）

．
所以∠BPE=∠PBD

（兩直線平行，內錯角相等）

．
同理∠APE=∠PAC．
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD

（等量代換）

，
即∠APB=∠PAC+∠PBD．
（1）當動點P落在第（2）部分時，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關系是怎樣的？請直接寫出∠APB、∠PAC、∠PBD之間滿足的關系式，不必說明理由．
（2）當動點P在第（3）部分時，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關系是怎樣的？請直接寫出相應的結論．
（3）當動點P在第（4）部分時，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關系是怎樣的？請直接寫出相應的結論．

Answer 1

分析：根據平行線的傳遞性、平行線的性質填空；
（1）過點P作EF∥AC，如圖3，根據平行線的性質、傳遞性和等式的基本性質可得出∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（2）過點P作EF∥AC，如圖4，根據平行線的性質、傳遞性可得出∠PAC=∠APB+∠PBD；
（3）過點P作EF∥AC，如圖5，根據平行線的性質、傳遞性可得出∠PAC+∠APB=∠PBD．

解答：解：過點P作EF∥AC，如圖2
因為AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行線的傳遞性）．
所以∠BPE=∠PBD （兩直線平行，內錯角相等）．
同理∠APE=∠PAC．
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD（等量代換），
即∠APB=∠PAC+∠PBD．
（1）過點P作EF∥AC，如圖3，

因為AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行線的傳遞性）．
所以∠BPF+∠PBD=180° （兩直線平行，同旁內角互補）．
同理∠APF+∠PAC=180° （兩直線平行，同旁內角互補）．
因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD=360°（等式的基本性質），
即∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．
（2）過點P作EF∥AC，如圖4，

∠PAC=∠APB+∠PBD；
（3）過點P作EF∥AC，如圖5，

∠PAC+∠APB=∠PBD．
故答案為：平行線的傳遞性，兩直線平行，內錯角相等，等量代換）．

點評：本題考查了平行線的性質以及數形結合思想的應用，是基礎知識比較簡單．