Question

如圖，一次函數y=kx+b（k≠0）與反比例函數交于點A（1，2），與x軸交于點M，與y軸交于點N．
（1）當點M的坐標為（3，0）時，求此一次函數解析式及其與的另一個交點B的坐標；
（2）在（1）的條件下，過A作AC⊥x軸于點D，連接OB交AC于E，試寫出圖中與△AOE面積相等的圖形，并說明理由；
（3）當點M在x軸上運動時，是否能使OA²=AM•AN？若存在，試直接寫出所有適合的點M的坐標（不必寫出解答過程）；若并不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：把M，A代入一次函數解析式得，
∴k=-1，b=3，
∴y=-x+3，由題意得，
∴x=2，y=1或x=1，y=2，
∵A（1，2），
∴另一個交點B的坐標為（2，1）；

（2）解：∵k=2，
∴S_△AOC=A_△BOD==1，
∴都減去S_△COE，
∴梯形BECD的面積與△AOE面積相等，
由三角形中位線知E為OB中點，
∴△ABE的面積與△AOE面積相等，
∴與△AOE面積相等的圖形有△ABE、梯形BECD；

（3）解：
①若△OAM∽△NAO，此時，MN⊥OA，從而M（5，0），如最左圖所示，
②若△AON∽△AMO，可求出OM=3，從而M（-3，0），如左2圖．這樣求出本題兩解．
若只這樣考慮，殊不知，在考慮滿足OA²=AM•AN時忽視了一類特殊情形，OA=AM=AN．
③若直線過原點，此時M、N與O重合，此時M（0，0）；
④若直線不與OA重合，此時△MNO為直角三角形，A為斜邊MN的中點，OM=2，M（2，0）．

分析：（1）把M，A代入一次函數解析式，即可求得解析式，讓一次函數解析式和反比例函數解析式組成方程組可求得另一交點坐標；
（2）看是否有等底等高的三角形，以及由面積相同的三角形減去同一三角形得到的四邊形；
（3）由于OA²=AM•AN，那么這些線段所在的三角形應相似，或者相等以及不確定的直線過原點等多種情況．
點評：這是一道集一次函數、反比例函數、直角三角形、運動、面積等問題為一體的綜合題，除考查學生上述的基礎知識外，還考查學生的綜合運用能力，需要通過構建模型，通過觀察、分析、猜想、探索，再進一步計算驗證，才能最終解決問題．該題體現了新課程的理念，有效的考查了學生的思維能力、創新能力、自主學習的潛能．