Question

已知：如圖1，點P在線段AB上（AP＞PB），C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，正方形CPFG和正方形PDHK在直線AB同側．
（1）求證：△EHG是等腰直角三角形；
（2）若將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點P順時針旋轉一個角度后，其它已知條件不變，如圖2，判斷△EHG還是等腰直角三角形嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據C、D、E分別是AP、PB、AB的中點求出CP=DE，再由正方形的性質及全等三角形的判定定理求出△CEG≌△DHE，由直角三角形的兩銳角互補即可解答；
（2）連接CE、ED，根據三角形中位線定理及直角三角形的性質可得□CEDP，再由CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°可求出△CEG≌△DHE，再通過等量代換即可解答．
解答：（1）證明：∵C、D、E分別是AP、PB、AB的中點，
∴CE=AE-AC=AB-AP=（AB-AP）=BP=DP．（1分）
∴CE+EP=DP+EP，即CP=DE．
∵四邊形CPFG和PDHK都是正方形，
∴在△CEG和△DHE中，
CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°．
∴△CEG≌△DHE．（2分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
而∠EGC+∠CEG=90°，
∴∠HED+∠CEG=90°．
∴∠GEH=90°．
又∵EG=HE，
∴△EHG是等腰直角三角形．（3分）

（2）△EHG還是等腰直角三角形．（4分）
理由如下：
連接CE、ED，
∵點C、D、E分別是AP、PB及AB的中點，
∴CE∥PB，DE∥AP，
∴四邊形CEDP是平行四邊形，
∴∠PCE=∠PDE．
進而得∠GCE=∠EDH，
再由CE=BP=DP=DH，
CG=CP=AP=DE，
仍可證△CEG≌△DHE．（5分）
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
如圖，設EG和CP相交于M，
則∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形．（6分）
點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是熟知正方形及全等三角形的性質，特別是在解（2）時，要根據題意作出輔助線，構造出正方形，結合三角形的中位線定理解答．