Question

【題目】.如圖①，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；……將余下部分沿BnAnC（n為正整數）的平分線AnBn1折疊，點Bn與點C重合．無論折疊多少次，只要最后一次點Bn與點C恰好重合，我們就稱BAC是ABC的好角．

小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形．

情形一：如圖②，沿等腰三角形ABC頂角BAC是平分線AB1折疊，點B與點C重合；

情形二：如圖③，沿ABC的BAC的平分線AB1折疊,剪掉重疊部分；將余下的部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．

（探究發現）

⑴如圖③，ABC中，B2C，經過兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？ ．（填：“是”或“不是”）

⑵歸納猜想：（i）如圖④，小麗經過三次折疊發現了BAC是ABC的好角，請探究B與C（BC）之間的等量關系，并說明理由．

（ii）根據以上內容猜想：若經過n（n為正整數）次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（BC）之間的等量關系為 ．（直接寫出結論）

⑶小麗找到一個三角形，三個角分別為15,60,105，發現60和105的兩個角都是此三角形的好角，請你完成，如果一個三角形的最小角是10，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】（1）是；

（2）∠B=3∠C；∠B=n∠C；

（3）60°，105°；

(4）10°，160°．

【解析】

（1）仔細分析題意根據折疊的性質及“好角”的定義即可作出判斷；
（2）因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結果；
（3）根據好角的定義即可得出結果；
（4）根據好角的定義進行推理計算，即可得出結果．

解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小麗展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案為：是；
（2）∠B=3∠C；
在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
理由如下：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根據三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；
故答案為：∠B=3∠C；∠B=n∠C；
（3）由前邊可以知道∠B和∠C有倍數關系，∠A是好角
所以60°=4×15°，60和15有倍數關系，105°應該是好角
105°=7×15°，105和15有倍數關系，60°應該是好角
故答案為：60°，105°；
（4）10°，160°；由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
因為最小角是10°是△ABC的好角，
根據好角定義，則可設另兩角分別為10m°，10mn°（其中m、n都是正整數）．
由題意，得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17．
因為m、n都是正整數，所以m與n+1是17的整數因子，
因此有：m=1，n+1=17；
所以m=1，n=16；
所以10m=10°，10mn=160°；
所以該三角形的另外兩個角的度數分別為：10°，160°；
故答案為：10°，160°．