Question

如圖，四邊形OABC是菱形，點C在x軸上，AB交y軸于點H，AC交y軸于點M．已知點A（-3，4）．
（1）求AO的長；
（2）求直線AC的解析式和點M的坐標；
（3）點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C運動，到達點C終止．設點P的運動時間為t秒，△PMB的面積為S．
①求S與t的函數關系式；
②求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據A的坐標求出AH、OH，根據勾股定理求出即可；
（2）根據菱形性質求出B、C的坐標，設直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程組，求出即可；
（3）①過M作MN⊥BC于N，根據角平分線性質求出MN，P在AB上，根據三角形面積公式求出即可；P在BC上，根據三角形面積公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比較即可得到答案．

解答：（1）解：∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO=

AH2+OH2

=5，
答：OA的長是5．

（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
設直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：

4=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，
當x=0時，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直線AC的解析式是y=-

1

2

x+

5

2

，點M的坐標是（0，2.5）．

（3）①解：過M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
當0≤t＜2.5時，P在AB上，MH=4-2.5=

3

2

，
S=

1

2

×BP×MH=

1

2

×（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

，
∴S=-

3

2

t+

15

4

，
當t=2.5時，P與B重合，△PMB不存在；
當2.5＜t≤5時，P在BC上，S=

1

2

×PB×MN=

1

2

×（2t-5）×

5

2

=

5

2

t-

25

4

，
∴S=

5

2

t-

25

4

，
答：S與t的函數關系式是S=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜2.5）或S=

5

2

t-

25

4

（2.5＜t≤5）．

②解：當P在AB上時，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是

1

2

×5×

3

2

=

15

4

，
同理在BC上時，P與C重合時，S最大是

1

2

×5×

5

2

=

25

4

，
∴S的最大值是

25

4

，
答：S的最大值是

25

4

．

點評：本題主要考查對勾股定理，三角形的面積，菱形的性質，角平分線性質，解二元一次方程組，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．