Question

（2010•潼南縣）如圖，已知拋物線y=+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連接DC，當△DCE的面積最大時，求點D的坐標；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此只需將A、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，可設D點的橫坐標，根據直線AC的解析式可表示出E點的縱坐標，即可得到DE的長，以DE為底，D點橫坐標為高即可得到△CDE的面積，從而得到關于△CDE的面積與D點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出△CDE的面積最大值及對應的D點坐標．
（3）根據拋物線的解析式，可求出B點的坐標，進而能得到直線BC的解析式，設出點P的橫坐標，根據直線BC的解析式表示出P點的縱坐標，然后利用坐標系兩點間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長，從而根據：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關系求出符合條件的P點坐標．
解答：解：（1）由于拋物線經過A（2，0），C（0，-1），
則有：，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直線AC：y=x-1；
設D（x，0），則E（x，x-1），
故DE=0-（x-1）=1-x；
∴△DCE的面積：S=DE×|x_D|=×（1-x）×x=-x²+x=-（x-1）²+，
因此當x=1，
即D（1，0）時，△DCE的面積最大，且最大值為．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設P（x，-x-1），因為A（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①當AP=CP時，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②當AP=AC時，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③當CP=AC時，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±，
∴P₃（，--1），P₄（-，-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（，--1）、P₄（-，-1）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數最值的應用、等腰三角形的構成條件等重要知識，同時還考查了分類討論、數形結合的數學思想，難度較大．