Question

在以點O為坐標原點的平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+4ax+3a與軸交于A、B兩點（OA＞OB）與y軸負半軸交于點C，且OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設直線x=m與拋物線交于點D，與線段AC交于點E，當線段DE的長取最大值時，求m的值和DE的長；
（3）設⊙0₁經過A、O、C三點，點M為弧AO上一點．求值．

Answer 1

解：（1）由ax²+4ax+3a=0（a≠0），
可解得，x₁=-1，x₂=-3；
∵OA＞OB，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∴OC=3OB=3，
∵拋物線交y軸于負半軸，
∴C（0，-3），
∴3a=-3，a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²-4x-3；

（2）∵A（-3，0），C（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
易得，D（m，-m²-4m-3），E（m，-m-3），
∵拋物線開口向下，點E在AC之間，
∴-3＜m＜0，
∴DE=（-m²-4m-3）-（-m-3）
=-m²-3m=-（m+）²+，
∴當m=-時，DE的長取最大值，最大值為；

（3）在MC上截取N，使CN=AM，
易證，△CON≌△AOM（SAS），
∴ON=OM，△OMN為等腰直角三角形，故MN=MO，
∴===．
分析：（1）令ax²+4ax+3a=0，求出與x軸、y軸的交點，再根據OC=3OB即可求出C點坐標，從而得到a的值，即可求出函數解析式；
（2）根據函數解析式求出D、E的坐標表達式，二者縱坐標之差為DE的長，其表達式為二次函數，從而通過配方可直接求出m的值和DE的長；
（3）在MC上截取N，使CN=AM，得到△CON≌△AOM，從而有ON=OM，則△OMN為等腰直角三角形，故MN=MO，再代入求值．
點評：本題考查了一元二次方程的解和二次函數與x軸的交點的橫坐標的關系、二次函數求最值、相似三角形的性質和圓的性質，難度較大，要細心．