Question

【題目】如圖，已知是的切線，是的直徑，連接交于點，在上截取，在中，連接，交于點．

（1）求證：；

（2）連接，，當　　　　時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）30°

【解析】

（1）連接AF，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠AFC=90°，從而得出∠FAC＋∠ACF=90°，然后根據三線合一可得∠BAC=2∠FAC，然后根據切線的性質可知∠BCE＋∠ACF=90°，從而證出結論；

（2）連接OF，根據題意，易證當△OCF為等邊三角形時，此時OC= FC=FD= OD，即四邊形是菱形，從而求出∠OCF=60°，然后根據直角三角形的性質即可求出結論．

解：（1）連接AF

∵AC為直徑

∴∠AFC=90°

∴∠FAC＋∠ACF=90°

∵

∴∠BAC=2∠FAC

∵是的切線，

∴∠ACB=90°

∴∠BCE＋∠ACF=90°

∴∠FAC=∠BCE

∴∠BAC=2∠BCE

（2）連接OF

∵∠CAF=∠EAF

∴FC=FD

∵OC=OD=OF，

∴當△OCF為等邊三角形時，此時OC= FC=FD= OD，即四邊形是菱形

∴∠OCF=60°

∴∠CAF=90°－∠OCF=30°

∴∠CAE=2∠CAF=60°

∴∠B=90°－∠CAE=30°

即當30°時，四邊形是菱形

故答案為：30°．