Question

如圖①，在正方形ABCD中，E為CD上一動點，連接AE交對角線BD于點F，過點F作FG⊥AE交BC于點G．
（1）求證：AF=FG；
（2）如圖②，連接EG，當BG=3，DE=2時，求EG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CF，根據正方形的性質可得AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△CBF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CF，全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠BCF，再根據四邊形的內角和定理與平角的定義求出∠BAF=∠CGF，然后求出∠CGF=∠BCF，根據等角對等邊可得CF=FG，從而得證；
（2）把△ADE順時針旋轉90°得到△ABH，根據旋轉的性質可得AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，然后求出∠EAG=∠HAG，再利用“邊角邊”證明△AHG和△AEG全等，根據全等三角形對應邊相等可得HG=EG，然后代入數據進行計算即可得解．
解答：（1）證明：如圖①，連接CF，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF和△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵FG⊥AE，
∴在四邊形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，
又∵∠BGF+∠CGF=180°，
∴∠BAF=∠CGF，
∴∠CGF=∠BCF，
∴CF=FG，
∴AF=FG；

（2）如圖②，把△ADE順時針旋轉90°得到△ABH，則AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，
∵AF=FG，FG⊥AE，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴∠EAG=45°，
∴∠HAG=∠BAG+∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠HAG，
在△AHG和△AEG中，，
∴△AHG≌△AEG（SAS），
∴HG=EG，
∵HG=BH+BG=DE+BG=2+3=5，
∴EG=5．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，綜合題，但難度不大，作輔助線構造出等腰三角形和全等三角形是解題的關鍵．