Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線(xiàn)上，則稱(chēng)四邊形ABCD為拋物線(xiàn)的伴隨四邊形，直線(xiàn)AB為拋物線(xiàn)的伴隨直線(xiàn)．

（1）如圖1，求拋物線(xiàn)y=（x﹣2）2+1的伴隨直線(xiàn)的解析式．
（2）如圖2，若拋物線(xiàn)y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴隨直線(xiàn)是y=x﹣3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線(xiàn)的解析式．
（3）如圖3，若拋物線(xiàn)y=a（x﹣m）2+n的伴隨直線(xiàn)是y=﹣2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；
②在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線(xiàn)y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，

∴拋物線(xiàn)y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點(diǎn)A（0，5），它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B（2，1），

設(shè)所求直線(xiàn)解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴所求直線(xiàn)解析式為y=﹣2x+5

（2）

解：如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

可得：AC=6，

∵平行四邊形ABCD的面積為12，

∴S△ABC=6即S△ABC= ACBE=6，

∴BE=2，

∵m＞0，即頂點(diǎn)B在y軸的右側(cè)，且在直線(xiàn)y=x﹣3上，

∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1），

又拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣3），

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x﹣2）2﹣1

（3）

解：①如圖，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

由已知可得A坐標(biāo)為（0，b），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣b），

∵頂點(diǎn)B（m，n）在直線(xiàn)y=﹣2x+b（b＞0）上，

∴n=﹣2m+b，即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+b），

在矩形ABCD中，CO=BO．

∴b= ，

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，

∴m= b，

n=﹣2× b+b=﹣ b，

②∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），即（ b，﹣ b），

∴BO= =b，

∴BD=2b，

當(dāng)BD=BP，

∴PF=2b﹣ b= b，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ b， b）；

如圖3，當(dāng)DP=PB時(shí)，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥PB，于點(diǎn)E，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（ b，﹣ b），

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ b， b），

∴DE= b，BE= b，設(shè)PE=x，

∴DP=PB= b+x，

∴DE2+PE2=DP2，

∴ +x2=（ b+x）2，

解得：x= b，

∴PF=PE+EF= b+ b= b，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（ b， b）；

同理P可以為（ b，﹣ b）；（ b， b），

故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（ b， b）；（ b， b）；（ b，﹣ b）；（ b， b）．

【解析】（1）利用拋物線(xiàn)y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點(diǎn)A（0，5），它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B（2，1），求出直線(xiàn)解析式即可；（2）首先得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），以及點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），進(jìn)而求出BE=2，得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式即可；（3）①由已知可得A坐標(biāo)為（0，b），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；②利用①中B點(diǎn)坐標(biāo)，以及BD的長(zhǎng)度即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．