Question

我們已經學過幾種基本的尺規作圖，如：作一個角的平分線．還有“過一個點作已知直線的垂線”也是一種基本的尺規作圖．（一）當這個點在這條已知直線上時，可以像圖（1）那樣作出，OC就是所要求作的垂線；（二）當這個點在這條已知直線外時，作法如下：在直線AB的另一側任取一點K；以點C為圓心，CK為半徑畫弧，交直線AB于點E、F；分別以點E、F為圓心，以略大于EF的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點D；經過點C、D畫直線m；則直線CD就是所要求作的垂線．
試回答下列問題：
（1）在作圖（一）中OC為什么是直線AB的垂線？
（2）（Ⅰ）在作圖（二）中，求證：直線m⊥AB．

Answer 1

解：
（1）∵∠AOB=180°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴OC⊥AB；

（2）由作圖過程可得CE=CF=DE=DF，
又∵CD是公共邊，
∴△CDE≌△CDF，
∴∠ECD=∠FCD，
即m平分∠ECF，
∴m⊥AB（等腰三角形的三線合一）．
分析：（1）根據平角和直角的定義作答；
（2）由作圖過程可得CE=CF=DE=DF，則△CDE≌△CDF，可得m平分∠ECF，由等腰三角形三線合一的性質可得m⊥AB．
點評：此題考查過直線上一點和直線外一點作已知直線的垂線的證法，利用了垂線的定義和等腰三角形的性質求證．