Question

1．（1）證明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{a}{ab+1}$|；
（2）利用（1）式，計算$\sqrt{1+199{0}^{2}+\frac{199{0}^{2}}{199{1}^{2}}}$-$\frac{1}{1991}$．

Answer 1

分析 （1）根據完全平方公式，可得答案．
（2）根據$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{a}{ab+1}$|，可得答案．

解答 （1）證明：∵（a+$\frac{1}{b}$-$\frac{a}{ab+1}$）²
=a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}$+$\frac{2a}{b}$-$\frac{2{a}^{2}}{ab+1}$-$\frac{2a}{b（ab+1）}$
=a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{2a（ab+1）-2a{b}^{2}-2a}{b（ab+1）}$
=a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}$，
∴原式成立；
（2）原式=$\sqrt{199{0}^{2}+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{199{0}^{2}}{1990×1+1}}$-$\frac{1}{1991}$=1990+$\frac{1}{1}$-$\frac{1990}{1990×1+1}$-$\frac{1}{1991}$
=1990+1-1
=1990．

點評 本題考查了二次根式的性質與化簡，利用完全平方公式是解題關鍵．