Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠C=90°，點M從點C出發沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動，到達點B停止運動，在點M的運動過程中，過點M作直線MN交AC于點N，且保持∠NMC=45°，再過點N作AC的垂線交AB于點F，連接MF，將△MNF關于直線NF對稱后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，設點M運動時間為t（s），△ENF與△ANF重疊部分的面積為y（cm2）．

（1）在點M的運動過程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由；

（2）求y關于t的函數解析式及相應t的取值范圍；

（3）當y取最大值時，求sin∠NEF的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行線證出△ANF∽△ACB，得出對應邊成比例求出NF=AN=（8﹣t），由對稱的性質得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；

（2）分兩種情況：①當0＜t≤2時，由三角形面積得出 ；

②當2＜t≤4時，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面積得出（2＜t≤4）；

（3）當點E在AB邊上時，y取最大值，連接EM，則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性質和勾股定理得出DF= HF=，在Rt△DEF中，由三角函數定義即可求出sin∠NEF的值．

試題解析：（1）能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下：

連接ME交NF于O，如圖1所示：

∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由對稱的性質得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四邊形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=；

即在點M的運動過程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為；

（2）分兩種情況：

①當0＜t≤2時，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）；

②當2＜t≤4時，如圖2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）；

綜上所述： ．

（3）當點E在AB邊上時，y取最大值，連接EM，如圖3所示：

則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，則EB= = =，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF= HF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF= = =．