Question

如圖，以坐標原點O為圓心，6為半徑的圓交y軸于A、B兩點．AM、BN為⊙O的切線．D是切線AM上一點（D與A不重合），DE切⊙O于點E，與BN交于點C，且AD＜BC．設AD=m，BC=n．
（1）求m•n的值；
（2）若m、n是方程2t²-30t+k=0的兩根．求：
①△COD的面積；
②CD所在直線的解析式；
③切點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題主要通過勾股定理或相似三角形來解決問題．
（2）第一問先根據一元二次方程求出m+n的值，進而求出△COD的面積．第二問主要通過先求出C，D兩點的坐標，再通過待定系數法來解決的．第三問是通過說明△OEG∽△EFC求出E的縱坐標，再代入直線的解析式求出它的縱坐標．

解答：解：（1）解法一：作DQ⊥BC于點Q．由切線長定理，可得AD=ED，BC=EC，
∴CD=m+n，QC=m-n．由勾股定理，得（m+n）²-（m-n）²=12²，可得m•n=36，
解法二：證明：△AOD∽△BCO，得

AD

BO

=

AO

BC

，
∴AD•BC=AO•BO=36，即m•n=36；

（2）①連接OE，由已知得m+n=15，即CD=15，
∵CD切⊙O于E，∴OE⊥CD，
∴S_△COD=

1

2

CD•OE=

1

2

×15×6=45，
②設CD所在直線解析式為y=ax+b，
由m+n=15，m•n=36，且m＜n得m=3，n=12，
∴C（12，-6），D（3，6），
代入y=ax+b，得

12a+b=-6 3a+b=6

，解得a=-

4

3

，b=10，
∴CD所在直線的解析式為y=-

4

3

x+10．
③設E點坐標為（x₁，y₁），設直線CD交x軸于點G，作EF⊥BC，垂足為F，交OG于點P，則OG=

1

2

（m+n）=

15

2

∵∠OGE=∠ECF，
∴Rt△OEG∽Rt△EFC，
∴

OE

EF

=

OG

EC

，即

6

EF

=

15 2

12

，∴EF=

48

5

∴EP=

48

5

-6=

18

5

，
即y₁=

18

5

，把y₁=

18

5

代入y=-

4

3

x+10，得x₁=

24

5

∴E（

24

5

，

18

5

）．

點評：本題主要是考查切線的性質，相似三角形的判定及用待定系數法求一次函數的解析式．是一道綜合性較強的題．