Question

（2000•河北）已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若S_△FCD=5，BC=10，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用D是BC邊上的中點，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結論；
（2）利用相似三角形的性質就可以求出三角形ABC的面積，然后利用面積公式就求出了DE的長．
解答：（1）證明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD．
∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：過A作AM⊥CD，垂足為M．
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴=．
∵S_△FCD=5，
∴S_△ABC=20．
又∵S_△ABC=×BC×AM，BC=10，
∴AM=4．
又DM=CM=CD，DE∥AM，
∴DE：AM=BD：BM=，
∴DE=．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，也利用了三角形的面積公式求線段的長．