Question

（2004•鎮江）在同一平面內，已知點O到直線l的距離為5，以點O為圓心，r為半徑畫圓．探究、歸納：
（1）當r=

2

時，⊙O上有且只有一個點到直線l的距離等于3．
（2）當r=

8

時，⊙O上有且只有三個點到直線l的距離等于3．
（3）隨著r的變化，⊙O上到直線l的距離等于3的點的個數有哪些變化并求出相對應的r的值或取值范圍（不必寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）根據垂線段最短，則要使⊙O上有且只有一個點到直線l的距離等于3，則該點是點O到直線l的垂線段與圓的那個交點，此時圓的半徑是5-3=2；
（2）根據點O到直線l的距離為5，要使⊙O上有且只有三個點到直線l的距離等于3，則需要在此直線的兩側分別有一條和該直線的距離是3的直線分別和圓相交、相切．此時圓的半徑是5+3=8．
（3）結合上述兩種特殊情況即可對此題進行分情況考慮：當0＜r＜2時，或當r=2時，或當2＜r＜8時，或當r=8時，或當r＞8時．

解答：解：（1）r=5-3=2．

（2）r=5+3=8．

（3）當0＜r＜2時，⊙O上沒有點到直線l的距離等于3；
當r=2時，⊙O上有且只有1個點到直線l的距離等于3；
當2＜r＜8時，⊙O上有且只有2個點到直線l的距離等于3；
當r=8時，⊙O上有且只有3個點到直線l的距離等于3；
當r＞8時，⊙O上有且只有4個點到直線l的距離等于3．

點評：能夠根據特殊情況分析得到所有的圓上的點到直線的距離等于3的點的個數．