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如圖①,正方形ABCD中,點A、B的坐標分別為(0,10)、(8,4),點C在第一象限.動點P在正方形ABCD的邊上,從點A出發沿A→B→C→D勻速運動,同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動,當P點到達D點時,兩點同時停止運動,設運動的時間為t秒.
(1)當P點在邊AB上運動時,點Q的橫坐標x(長度單位)關于運動時間t(秒)的函數圖象如圖②所示,請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度;
(2)求正方形邊長及頂點C的坐標;
(3)在(1)中當t為何值時,△OPQ的面積最大,并求此時P點的坐標.

【答案】分析:(1)根據題意,易得Q(1,0),結合P、Q得運動方向、軌跡,分析可得答案;
(2)過點B作BF⊥y軸于點F,BE⊥x軸于點E,則BF=8,OF=BE=4,在Rt△AFB中,過點C作CG⊥x軸于點G,與FB的延長線交于點H,易得△ABF≌△BCH,進而可得C得坐標;
(3)過點P作PM⊥y軸于點M,PN⊥x軸于點N,易得△APM∽△ABF,根據相似三角形的性質,有,設△OPQ的面積為S,計算可得答案.
解答:解:(1)根據題意,易得Q(1,0),
點P運動速度每秒鐘1個單位長度.

(2)過點B作BF⊥y軸于點F,BE⊥x軸于點E,則BF=8,OF=BE=4.
∴AF=10-4=6.
在Rt△AFB中,
過點C作CG⊥x軸于點G,與FB的延長線交于點H.
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°,∠ABF=∠BCH,∠FAB=∠CBH
∴△ABF≌△BCH.
∴BH=AF=6,CH=BF=8.
∴AB==10,
∴OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.
∴所求C點的坐標為(14,12).

(3)過點P作PM⊥y軸于點M,PN⊥x軸于點N,
則△APM∽△ABF.
.∴.∴

∵開始時Q(1,0),動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動,
∴OQ=1+t,
設△OPQ的面積為S(平方單位)
(0≤t≤10)
<0
∴當t=時,△OPQ的面積最大此時P的坐標為().
點評:主要考查的圖形與函數的綜合應用,要熟練掌握相似的性質和正方形的性質,并能夠將他們與二次函數的應用有效的結合起來;解決此類問題,注意數形結合得思想的運用.
練習冊系列答案
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21、如圖,在正方形網格上的一個△ABC.(其中點A、B、C均在網格上)
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(2)以P點為一個頂點作一個與△ABC全等的三角形(規定點P與點B對應,另兩頂點都在圖中網格交點處).

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如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
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垂直
垂直
,數量關系為
相等
相等

(2)當點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,①中的結論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)

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(1)利用網格畫出AC邊上的中線BD(不寫畫法,寫出結論,下同);
(2)利用網格畫出△ABC邊BC上的高;
(3)用直尺和圓規在右邊方框中作一個△A′B′C′與△ABC全等.

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