Question

在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，直線l₁：y=x+4與x軸交于點(diǎn)A，直線l₂：y=-x+2與y軸交于點(diǎn)B．直線y=-

1

2

x+b與l₁交于點(diǎn)M，與l₂交于點(diǎn)N（點(diǎn)N不與B重合）．設(shè)△OBM、△OAM的面積分別為S₁，S₂，
（1）當(dāng)0≤b≤1時(shí)，求S₁關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，并求出S₁的最大值；
（2）若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于

4

3

，且S₁＜S₂，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線y=x+4，y=-

1

2

x+b求M點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式表示S₁，利用函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（2）根據(jù)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，OA的長(zhǎng)表示S₂，由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于

4

3

，且S₁＜S₂，列不等式組求b的取值范圍．

解答：解：（1）由直線l₁：y=x+4與x軸相交，得點(diǎn)A（-4，0），
由直線l₂：y=-x+2與y軸相交，得點(diǎn)B（0，2），
聯(lián)立

y=x+4 y=- 1 2 x+b

，
得

x= 2b-8 3 y= 2b+4 3

，即M（

2b-8

3

，

2b+4

3

），
∴S₁=

1

2

×2×（-

2b-8

3

）=

8-2b

3

，
當(dāng)0≤b≤1時(shí)，S₁的最大值為

8

3

；

（2）由（1）可知，S₂=

1

2

×4×

2b+4

3

=

4b+8

3

，
∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于

4

3

，且S₁＜S₂，
∴

2b+4 3 ＞ 4 3 8-2b 3 ＜ 4b+8 3

，
解得b＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法和三角形面積的求法，解不等式組．