Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC．
（1）求證：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中可求得AE和AC所在的三角形全等，進而得到BG和FG所在三角形全等的條件；
（2）求得AF長即可求得AB長．利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進而求得一些角是30°，主要利用AD長，直角三角形勾股定理來求解．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，
∴∠ABC=∠AFE．（1分）
在△ABC和△AFE中，

∴△ABC≌△AFE（2分）
∴AB=AF．（3分）
連接AG，（4分）
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG．（5分）
∴BG=FG；（6分）

（2）解：∵AD=DC，DF⊥AC，AF=AC=AE．（7分）
∴∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，（8分）
∴AF=．（9分）
∴AB=AF=．（10分）
點評：本題考查直角梯形、等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定，知識點多，綜合性強．突破此題的關鍵在于第一問通過兩次全等證Rt△ABG≌Rt△AFG，第二問求AB的長應充分利用等腰△ADC的性質得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°．