Question

如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片(即△OAB)放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將三角形紙片AO₁B₁繞點B₁按順時針方向旋轉120°，此時點A運動到了點A₁處，點O₁運動到了點O₂處(即頂點O經過上述兩次旋轉到達O₂處)．

小慧還發現：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l₁圍成的圖形面積等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之和．

小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O₁處(即點B處)，點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞頂點B₁按順時針方向旋轉90°，……，按上述方法經過若干次旋轉后．她提出了如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經過3次旋轉，求頂點O經過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經過5次旋轉，求頂點O經過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是？

請你解答上述兩個問題．

Answer 1

答案：
解析：

解問題①：如圖，正方形紙片OABC經過3次旋轉，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，及、以及． 　　∴頂點O在此運動過程中經過的路程為： 　　． 　　頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為： 　　． 　　正方形紙片OABC經過5旋轉，頂點O經過的路程為： 　　． 　　問題②：∵正方形紙片OABC經過4旋轉，頂點O經過的路程為： 　　． 　　∴． 　　∴正方形紙片OABC經過了81次旋轉．