Question

已知：如圖，在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．
（1）求證：∠AOC=∠BOD； 
（2）試確定AC與BD兩線段之間的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等邊對等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性質可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，從而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相減，差相等可得∠AOC=∠DOB；
（2）過O作OE⊥AB于E，利用垂徑定理有AE=EB，CE=ED，于是AE-CE=BE-DE，即AC=BD．

解答：證明：（1）∵OA=OB，OC=OD，
∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，
∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，
∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，
∴∠AOC=∠DOB；
（2）過O作OE⊥AB于E，
∴AE=EB，CE=ED，
∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD．

點評：本題考查了垂徑定理、三角形外角性質、等邊對等角，解題的關鍵是作輔助線OE．