Question

如圖，一次函數y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B．P是射線BO上的一個動點（點P不與點B重合），過點P作PC⊥AB，垂足為C，在射線CA上截取CD=CP，連接PD．設BP=t．
（1）t為何值時，點D恰好與點A重合？
（2）設△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的長度；進而利用關系式AB=BC+CD，列方程求出t的值；
（2）點P運動的過程中，分為四個階段，需要分類討論：
①當0＜t≤時，如題圖所示，重合部分為△PCD；
②當＜t≤4時，如答圖1所示，重合部分為四邊形ACPE；
③當4＜t≤時，如答圖2所示，重合部分為△ACE；
④當t＞時，無重合部分．
解答：解：（1）在一次函數解析式y=-x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，
∴CD=CP=t．
若點D恰好與點A重合，則BC+CD=AB，即t+t=5，
解得：t=，
∴當t=時，點D恰好與點A重合．

（2）當點P與點O重合時，t=4；
當點C與點A重合時，由BC=BA，即t=5，得t=．
點P在射線BO上運動的過程中：
①當0＜t≤時，如題圖所示：
此時S=S_△PCD=CP•CD=•t•t=t²；
②當＜t≤4時，如答圖1所示，設PC與x軸交于點E．

BD=BC+CD=t+t=t，
過點D作DN⊥y軸于點N，則ND=BD•sin∠ABO=t•=t，BN=BD•cos∠ABO=t•=t．
∴PN=BN-BP=t-t=t，ON=BN-OB=t-4．
∵ND∥x軸，
∴，即，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S_△PCD-S_△ADE=CP•CD-AE•ON=t²-（7t-25）（t-4）=t²+28t-50；
③當4＜t≤時，如答圖2所示，設PC與x軸交于點E．

AC=AB-BC=5-t，
∵tan∠OAB==，∴CE=AC•tan∠OAB=（5-t）×=-t．
故S=S_△ACE=AC•CE=（5-t）•（-t）=t²-t+；
④當t＞時，無重合部分，故S=0．
綜上所述，S與t的函數關系式為：
S=．
點評：本題考查了典型的運動型綜合題，且計算量較大，有一定的難度．解題關鍵在于：一，分析點P的運動過程，區分不同的階段，分類討論計算，避免漏解；二，善于利用圖形面積的和差關系計算所求圖形的面積；三，認真計算，避免計算錯誤．