Question

如圖，以Rt△ABC的一直角邊AB為直徑作圓，交斜邊BC于P點，Q為AC的中點．
（1）求證：PQ與⊙O相切；
（2）若PQ=2cm，BP=6cm，求圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證PQ是⊙O的切線，只要連接OP，AP，再證PQ⊥OP即可．
（2）先證明△ACP∽△BCA，根據相似三角形及切線的性質求出AC，BC的長，再根據勾股定理求得圓的直徑，進一步得到半徑．

解答：解：（1）連接OP，AP．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°．
∴∠APC=90°．
∵Q為AC的中點
∴PQ=AQ=QC．（1分）
∴∠PAQ=∠APQ
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA
∴∠PAQ+∠OAP=∠APQ+∠OPA
即∠OAQ=∠OPQ
∵∠BAC=90°，
∴∠OPQ=90°，
∴PQ⊥OP
∴PQ與⊙O相切．（2分）

（2）∵PQ=2
∴AC=4．
∵∠BAC=90°，AP⊥BC于P，
∴△ACP∽△BCA．（3分）
∴

AC

BC

=

PC

AC

∴AC²=PC•BC
∵BP=6，
∴16=PC（6+PC）
∴PC=2（負值舍去）（4分）
∴BC=8，
∴AB=

82-42

=4

3

，
∴所求圓的半徑為2

3

cm．（5分）

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形及切線的性質，勾股定理的應用．