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如圖,在平面直角坐標系中,點A(-6,0)、點C(0,4),四邊形OABC是矩形,以點O為圓心的⊙O過點D(
3
,0),點P從點O出發,沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度運動,直線l為AP的垂直平分線,垂足為E,設運動時間為t秒.
(1)當t為何值時,AP與⊙O相切?
(2)請你探究當直線l與⊙O相切時t的值.精英家教網
分析:(1)設AP與⊙O相切于點H,如圖,連接OH,則OH⊥AP,求得AH,再由△AHO∽△AOP得
OH
OP
=
AH
OA
,即可得出OP;從而求出t的值;
(2)設直線l與⊙O相切于點F,分兩種情況討論:①當P在OC上時,如圖,連接OF,設OG=x,AE=y,則AG=6-x,AP=2y.由△OFG∽△AEG,和由△AEG∽△AOP即可得出t;②當P在AB上時,如圖,AE=OQ=
3
,則AP=2AE=2
3
,從而得出t,即直線l與⊙O相切;③當P在BC上時,則連接AP,作它的中垂線,是和圓相離,故不成立.
解答:(1)設AP與⊙O相切于點H,如圖,
連接OH,則OH⊥AP,
∴AH=
OA2-OH2
=
62-(
3
)
2
=
33

由△AHO∽△AOP得
OH
OP
=
AH
OA

3
OP
=
33
6

則OP=
6
11
11

t=
6
11
11


(2)①設直線l與⊙O相切于點F,當P在OC上時,如圖,連接OF,
設OG=x,AE=y,則AG=6-x,AP=2y.
由△OFG∽△AEG,得
OF
AE
=
OG
AG
,即
3
y
=
x
6-x

由△AEG∽△AOP得
AE
AO
=
AG
AP
,即
y
6
=
6-x
2y
,解得
x=2
y=2
3

(或△OFG∽△AOP得
AP
OG
=
AO
OF
,即
2y
x
=
6
3

∴OP=
(2y)2-62
=
(4
3
)
2
-62
=2
3
,即t=2
3

②當P在AB上時,如圖,AE=OQ=
3
,∴AP=2AE=2
3
t=4+6+4-2
3
=14-2
3

③當P在BC上時,則連接AP,做它的中垂線,是和圓相交,故不成立.
綜上,當t=2
3
14-2
3
時,直線l與⊙O相切.
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點評:本題是一道綜合題,考查了切線的判定和性質、坐標和圖形的性質以及相似三角形的判定和性質,難度較大.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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