Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（-6，0）、點C（0，4），四邊形OABC是矩形，以點O為圓心的⊙O過點D（

3

，0），點P從點O出發，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度運動，直線l為AP的垂直平分線，垂足為E，設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，AP與⊙O相切？
（2）請你探究當直線l與⊙O相切時t的值．

Answer 1

分析：（1）設AP與⊙O相切于點H，如圖，連接OH，則OH⊥AP，求得AH，再由△AHO∽△AOP得

OH

OP

=

AH

OA

，即可得出OP；從而求出t的值；
（2）設直線l與⊙O相切于點F，分兩種情況討論：①當P在OC上時，如圖，連接OF，設OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．由△OFG∽△AEG，和由△AEG∽△AOP即可得出t；②當P在AB上時，如圖，AE=OQ=

3

，則AP=2AE=2

3

，從而得出t，即直線l與⊙O相切；③當P在BC上時，則連接AP，作它的中垂線，是和圓相離，故不成立．

解答：（1）設AP與⊙O相切于點H，如圖，
連接OH，則OH⊥AP，
∴AH=

OA2-OH2

=

62-( 3 )2

=

33

，
由△AHO∽△AOP得

OH

OP

=

AH

OA

，
∴

3

OP

=

33

6

，
則OP=

6 11

11

，
∴t=

6 11

11

．

（2）①設直線l與⊙O相切于點F，當P在OC上時，如圖，連接OF，
設OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．
由△OFG∽△AEG，得

OF

AE

=

OG

AG

，即

3

y

=

x

6-x

，
由△AEG∽△AOP得

AE

AO

=

AG

AP

，即

y

6

=

6-x

2y

，解得

x=2 y=2 3

，
（或△OFG∽△AOP得

AP

OG

=

AO

OF

，即

2y

x

=

6

3

）
∴OP=

(2y)2-62

=

(4 3 )2-62

=2

3

，即t=2

3

．
②當P在AB上時，如圖，AE=OQ=

3

，∴AP=2AE=2

3

，t=4+6+4-2

3

=14-2

3

．
③當P在BC上時，則連接AP，做它的中垂線，是和圓相交，故不成立．
綜上，當t=2

3

或14-2

3

時，直線l與⊙O相切．

點評：本題是一道綜合題，考查了切線的判定和性質、坐標和圖形的性質以及相似三角形的判定和性質，難度較大．