Question

一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O與A（4，0）點(diǎn)，頂點(diǎn)B在直線y=kx+2k（k≠0）上．將這條拋物線先向上平移m（m＞0）個(gè)單位，再向右平移m個(gè)單位，得到的拋物線的頂點(diǎn)B′仍然在直線y=kx+2k上，點(diǎn)A移動(dòng)到了點(diǎn)A′．
（1）求k值及原拋物線的表達(dá)式；
（2）求使△A′OB′的面積是6032的m值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件選擇交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式．再進(jìn)一步把它變形為頂點(diǎn)式，則它的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線解析式得到關(guān)于k、a的方程．根據(jù)將這條拋物線先向上平移m個(gè)單位，再向右平移m個(gè)單位，在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上，左加右減，上加下減的方法得到新的拋物線解析式，再進(jìn)一步把它的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得到關(guān)于k、m的方程．即可求得k、a的值，進(jìn)一步求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)B'的坐標(biāo)和點(diǎn)A'的坐標(biāo)，運(yùn)用割補(bǔ)法表示出三角形的面積，列方程求解．

解答：解：（1）已知原拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）與A（4，0）點(diǎn)，
因此可設(shè)原拋物線的表達(dá)式為y=ax（x-4）．（1分）
配方得y=a（x-2）²-4a，則其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-4a）．（2分）
因?yàn)轫旤c(diǎn)B在直線y=kx+2k（k≠0）上，將（2，-4a）代入可得k=-a．（3分）
由題意可知平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（2+m，-4a+m），即（2+m，4k+m）．
因?yàn)锽'點(diǎn)仍然在直線y=kx+2k上，則4k+m=k（2+m）+2k，
整理得m=km，因?yàn)閙＞0，
所以k=1，（4分）
則a=-1，所以原拋物線的表達(dá)式為y=-x（x-4）．（或y=-x²+4x）（5分）

（2）方法一：由（1）知，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（2+m，4+m），
由題意，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（4+m，m），（6分）
作B'C垂直于y軸于C，作A'D垂直于y軸于D，（7分）
因?yàn)閙＞0，所以△A'OB'的面積
=△B'OC的面積+梯形B'CDA'的面積-△A'OD的面積
=

1

2

（2+m）（4+m）+

1

2

（4+m+m）（4+m-2-m）-

1

2

m（4+m）
=3m+8，（8分）
由3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）
方法二：由（1）知，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（2+m，4+m），
由題意，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（4+m，m），（6分）
設(shè)直線A'B'的表達(dá)式為y=k'x+b，則

4+m=(2+m)k′+b m=(4+m)k′+b

解得

k′=-2 b=3m+8

（7分）
則直線A'B'的表達(dá)式為y=-2x+3m+8．
設(shè)直線A'B'與x軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

3m+8

2

，0)．（8分）
因?yàn)閙＞0，
所以OC=

3m+8

2

＞0，y_A'=m＞0，y_B'=4+m＞0，
所以S_△A'OB'=

1

2

OC•yB'-

1

2

OC•yA'=

1

2

OC（yB'-yA'）=

1

2

•

3m+8

2

•（4+m-m）=3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）

點(diǎn)評(píng)：注意：拋物線平移的時(shí)候，解析式的變形必須在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上進(jìn)行平移：左加右減，上加下減．即把拋物線y=a（x-h）²+k向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的解析式是y=a（x-h-m）²-4a+m；一個(gè)點(diǎn)平移的時(shí)候，橫坐標(biāo)是左減右加，縱坐標(biāo)是上加下減．能夠運(yùn)用割補(bǔ)法把在平面直角坐標(biāo)系中擺放不規(guī)則的圖形的面積進(jìn)行求解．