Question

如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P，連接EP．
（1）如圖②，若M為AD邊的中點，
①△AEM的周長=______cm；
②求證：EP=AE+DP；
（2）隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與A、D重合），△PDM的周長是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由折疊知BE=EM．AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．根據邊長及中點易求周長；②延長EM交CD延長線于Q點．可證△AEM≌△DQM，得AE=DQ，EM=MQ．所以PM垂直平分EQ，得EP=PQ，得證；
（2）不變化．可證△AEM∽△DMP，兩個三角形的周長的比是AE：MD，設AE=x，根據勾股定理可以用x表示出MD的長與△MAE的周長，根據周長的比等于相似比，即可求解．
解答：解：（1）由折疊知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周長=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中點，
∴△AEM的周長=4+2=6（cm）；
②現證明EP=AE+PD
方法一：取EP的中點G，則在梯形AEPD中，MG為中位線，
∴MG=（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG為斜邊EP的中線，
∴MG=EP，
∴EP=AE+PD．
方法二：延長EM交CD延長線于Q點．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周長保持不變．
設AM=x，則MD=4-x．
由折疊性質可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE²+AM²=EM²，即AE²+x²=（4-AE）²，
整理得：AE²+x²=16-8AE+AE²，
∴AE=（16-x²），
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C_△PDM=C_△MAE•=（4+x）•=8．
∴△PDM的周長保持不變．
點評：此題通過折疊變換考查了三角形的全等及相似等知識點，難度較大．