Question

如圖，已知直線l₁：y=-x+2與直線l₂：y=2x+8相交于點F，l₁、l₂分別交x軸于點E、G，矩形ABCD頂點C、D分別在直線l₁、l₂，頂點A、B都在x軸上，且點B與點G重合．
（1）求點F的坐標和∠GEF的度數；
（2）求矩形ABCD的邊DC與BC的長；
（3）若矩形ABCD從原地出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD與△GEF重疊部分的面積為s，求s關于t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于直線l₁：y=-x+2與直線l₂：y=2x+8相交于點F，因而聯立兩解析式組成方程組求得解即為F點的坐標．過F點作直線FM垂直X軸交x軸于M，通過坐標值間的關系證得ME=MF=4，從而得到△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）首先求得B（或G）點的坐標、再依次求得點C、D、A的坐標．并進而得到DC與BC的長；
（3）首先將動點A、B用時間t來表示．再就①在運動到t秒，若BC邊與l₂相交設交點為N，AD與l₁相交設交點為K；②在運動到t秒，若BC邊與l₁相交設交點為N，AD與l₁相交設交點為K；③在運動到t秒，若BC邊與l₁相交設交點為N，AD與l₁不相交．三種情況討論解得s關于t的函數關系式．

解答：解：（1）由題意得

y=-x+2 y=2x+8

，
解得x=-2，y=4，
∴F點坐標：（-2，4）；
過F點作直線FM垂直X軸交x軸于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；

（2）∵點G是直線l2與x軸的交點，
∴當y=0時，2x+8=0，解得x=-4，
∴G點的坐標為（-4，0），則C點的橫坐標為-4，
∵點C在直線l₁上，
∴點C的坐標為（-4，6），
∵由圖可知點D與點C的縱坐標相同，且點D在直線l₂上，
∴點D的坐標為（-1，6），
∵由圖可知點A與點D的橫坐標相同，且點A在x軸上，
∴點A的坐標為（-1，0），
∴DC=|-1-（-4）|=3，BC=6；

（3）∵點E是l₁與x軸的交點，
∴點E的坐標為（2，0），
S_△GFE=

1

2

GE•MF=

1

2

(2+4)×4=12，
若矩形ABCD從原地出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度平移，
當t秒時，移動的距離是1×t=t，則B點的坐標為（-4+t，0），A點的坐標為（-1+t，0）；

①在運動到t秒，若BC邊與l₂相交設交點為N，AD與l₁相交設交點為K，那么-4≤-4+t≤-2，即0≤t≤2時．
N點的坐標為（-4+t，2t），K點的坐標為（-1+t，3-t），
s=S_△GFE-S_△GNB-S_△AEK=12-

1

2

t•2t-

1

2

(3-t)•(3-t)=-

3

2

t2-3t+

15

2

，
②在運動到t秒，若BC邊與l₁相交設交點為N，AD與l₁相交設交點為K，那么-2＜-4+t且-1+t≤3，即2＜t＜4時．
N點的坐標為（-4+t，6-t），K點的坐標為（-1+t，3-t），
s=S_梯形BNKA=

1

2

[(6-t)+(3-t)]•3=- 3t+

27

2

，
③在運動到t秒，若BC邊與l₁相交設交點為N，AD與l₁不相交，那么-4+t≤3且-1+t＞3，即4≤t≤6時．
N點的坐標為（-4+t，6-t），
s=S_△BNE=

1

2

[2-(-4+t)]•(6-t)=

1

2

t2-6t+18，
答：（1）F點坐標：（-2，4），∠GEF的度數是45°；
（2）矩形ABCD的邊DC的長為3，BC的長為6；
（3）s關于t的函數關系式

s=- 3 2 t2-3t+ 15 2 (0≤t≤2) s=-3t+ 27 2 (2＜t＜4) s= 1 2 t2-6t+18(4≤t≤6)

．

點評：本題是一次函數與三角形、矩形、梯形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．