Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD=1，BC=3，以AB為直徑的半圓O與CD相切于E點．則梯形ABCD的面積是（ ）

A．3
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由梯形ABCD中AD與BC平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得到一對角互補，再由∠ABC=90°，得到∠BAD=90°，又AB為圓O的直徑，可得出AD與BC都與圓O相切，又DC與圓O相切于點E，利用切線長定理得到DA=DE，CE=CB，由AD與BC的長求出DC的長，過D作DF垂直于BC，可得出四邊形ABFD為矩形，利用矩形的對邊相等得到AD=BF，由AD的長求出BF的長，利用BC-BF求出FC的長，在直角三角形CFD中，利用勾股定理求出DF的長，即為梯形的高，利用梯形的面積即可求出梯形ABCD的面積．
解答：解：∵直角梯形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴AD與BC都與圓O相切，
又DC與圓O相切于點E，且AD=1，BC=3，
∴DA=DE=1，CE=CB=3，
∴DC=DE+EC=AD+BC=1+3=4，
過D作DF⊥BC于F點，則四邊形ABFD為矩形，
∴AD=BF=1，
∴FC=BC-BF=3-1=2，
在Rt△CFD中，根據(jù)勾股定理得：DF==2，
則S_梯形ABCD=（AD+BC）•DF=4．
故選D．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，梯形的面積公式，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．