Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是

AB

上一點，且

BG

=

1

3

AB

，連接AG交PD于F，連接BF，若PD=6

3

，tan∠BFE=3

3

．
求：（1）∠C的度數；
（2）QH的長．

Answer 1

分析：（1）連接OP，易得∠BAG=30°，應利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一條線段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相應的度數，進而求解；
（2）易得PE=3

3

，那么利用特殊的三角函數值即可求得CP，OP，利用切割線定理可求得CA長．進而求得PQ，QB長．利用切割線定理可求得QH長．

解答：解：（1）連接OP，則∠OPC=90°
∵

BG

=

1

3

AB

∴∠BAF=30°
設EF=x，則AE=

3

x
∵tan∠BFE=3

3

∴BE=3

3

x
∴cos∠POA=OE：OP=

1

2

∴∠POA=60°
∵CP是切線
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；

（2）∵PD⊥AB，PD=6

3

，
∴PE=3

3

，
∴CP=6

3

，OP=6，
那么AB=2OP=12，
∵PC²=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9

3

，
∴PQ=3

3

，
∵PQ²=QH×QB，
∴QH=3．

點評：本題用到的知識點為：利用三角函數值來判斷角的度數；垂直于弦的直徑平分弦；切割線定理等．考查學生綜合運用知識能力．