Question

3、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P、Q是BC上兩點，且滿足BP²+CQ²=PQ²，則∠PAQ的度數是

45

°．

Answer 1

分析：由∠BAC=90°，AB=AC，可將△AQC逆時針繞點A旋轉90°得△ADB，AC與AB重合，連DP，根據旋轉的性質得到∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，則∠C=∠ABC=∠1=45°，得到∠DBP=2∠C=90°，根據勾股定理和BP²+CQ²=PQ²，得到DP=PQ，則有△ADP≌△AQP，得到∠DAP=∠PAQ，而∠DAQ=90°，即可求出∠PAQ的度數．

解答：解：如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴將△AQC逆時針繞點A旋轉90°得△ADB，AC與AB重合，連DP，
∴∠1=∠C，AD=AQ，BD=CQ，∠DAQ=90°，
而∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠1=45°，
∴∠DBP=2∠C=90°，
∴DP²=DB²+BP²，
而QC²+BP²=PQ²，
∴DP=PQ
∴△ADP≌△AQP，
∴∠DAP=∠PAQ，
而∠DAQ=90°，
∴∠PAQ=45°．
故答案為45．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的性質和勾股定理以及三角形全等的判定與性質．