Question

如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，F(xiàn)是AC中點，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線，延長DF交AN于點E．
（1）判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由；
（2）問：線段CE與線段AD有什么關系？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABDE是平行四邊形，有等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)可證明：AB∥DE，再利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證明AE∥BD，進而證明四邊形ABDE的形狀為平行四邊形；
（2）CE∥AD，CE=AD；證明四邊形ADCE為矩形即可；

解答：（1）解：四邊形ABDE是平行四邊形，
理由如下：
∵AB=AC，D是BC中點，F(xiàn)是AC中點，
∴DF∥AB，
∵AB=AC，D是BC中點，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，
∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠NAD=90°，
∴AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）解：CE∥AD，CE=AD；
理由如下：
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=

1

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∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，
∵AB=AC，點D為BC中點，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，∴AD∥CE，
∴四邊形ADCE為平行四邊形（有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），
∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）
∴CE∥AD，CE=AD．

點評：本題的考點：外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】）平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)．