Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠B=∠ACB，根據三角形外角性質求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根據ASA證明△ABC和△CDA全等；
（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四邊形ABCD，根據∠B=60°，AB=AC，得出等邊△ABC，推出AB=BC即可．
解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAC=2∠CAD，
∴∠CAD=∠ACB，
∵在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA；

（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
點評：本題考查了平行線的性質，全等三角形的性質和判定，菱形的判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題目比較好，綜合性也比較強．