Question

（2011•黔南州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是．
（1）求點B的坐標；
（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形S=OB•=可得點B的坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+2），點A在其上，求得a；
（3）存在點C、過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E、當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△AOC的周長最小，由三角形相似，得到C點坐標．
（4）設p（x，y），直線AB為y=kx+b，解得k、b，由S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD，S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD，兩面積正比可知，求出x．
解答：解：（1）由題意得OB•=，
∴B（-2，0）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點A（1，），得，
∴y=x²+x，

（3）存在點C、過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線
的對稱軸x=-1交x軸于點E、當點C位于對稱軸
與線段AB的交點時，△AOC的周長最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE==，
∴C（-1，）．

（4）存在．如圖，設P（x，y），直線AB為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB為y=x+，
S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD=|OB||Y_P|+|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|
=x+-（x²+x），
=-x²-x+x+，
=-x²-x+，
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=-×2×|x+|=-x+，
∴==，
∴x₁=-，x₂=1（舍去），
∴p（-，-），
又∵S_△BOD=x+，
∴==，
∴x₁=-，x₂=-2．
P（-2，0），不符合題意．
∴存在，點P坐標是（-，-）．
點評：本題二次函數的綜合題，要求會求二次函數的解析式，考查三角形相似和面積公式等知識點，本題步驟有點多，做題需要認真細心．