Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，延長BC到點F使CF=AE．
（1）若把△ADE繞點D旋轉一定的角度時，能否與△CDF重合？請說明理由．
（2）現把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點G．求證：AH⊥ED，并求AG的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知證明△ADE≌△CDF，從而得到結論；
（2）由（1）的結論及勾股定理可得ED，由直角三角形的面積公式求得AG．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD=DC=2，AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE與△CDF中，
∵

AD=DC ∠BAD=∠DCF AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，
∴把△ADE繞點D逆時旋轉90°時能與△CDF重合．

（2）由（1）可知∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∵AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED，
∵AE=1，AD=2，
∵ED=

AE2+AD2

=

12+22

=

5

，
∴

1

2

AE•AD=

1

2

ED•AG，
即

1

2

×1×2=

1

2

×

5

×AG，
∴AG=

2 5

5

．

點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式和平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．