Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，⊙O₁以OA為直徑，⊙O的弦AD交⊙O₁于點C，BC⊥OD于點E．
（1）求證：BC為⊙O₁的切線；
（2）若OE=2，求⊙O的半徑及AC的長．

Answer 1

分析：（1）連接0₁C，OC，可證得O₁C是△AOD的中位線，利用平行可求得0₁C⊥BC那么BC為⊙O₁的切線；
（2）可利用已知得出△ACO∽△CEO，進而得出

EO

CO

=

CO

AO

，進而求得CO，利用勾股定理求得AC的長．

解答：（1）證明：連接0₁C，OC；
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠ACO=90°，
即OC⊥AD，
∴AC=CD，
∵AO₁=OO₁，
∴O₁C是△AOD的中位線，
∴O₁C∥OD．
∵BC⊥OD，
∴O₁C⊥BC，
∴BC為⊙O₁的切線．

（2）解：∵OE∥0₁C，
∴

OE

CO1

=

OB

BO1

=

2

3

，
∴0₁C=3，
∴AO=20₁C=6．
∵BC為⊙O₁的切線，
∴∠BCO=∠A，
∵∠OEC=∠ACO，
∴△ACO∽△CEO，
∴

EO

CO

=

CO

AO

，
∴

2

CO

=

CO

6

，
解得：CO=2

3

，
∴AC=

OA2-OC2

=2

6

．

點評：證明是圓的切線應連接圓心和切點，利用平行證得證半徑和直線所夾的角是90；注意使用勾股定理來推理所求線段的長度．