Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG．
（1）求證：①DE=DG； ②DE⊥DG；
（2）尺規作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據正方形性質求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根據全等三角形判定推出即可；②根據全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；
（2）分別以G、E為圓心，以DG為半徑畫弧，兩弧交于F，連接GF、EF即可；
（3）推出EF=CK，EF∥CK，根據平行四邊形的判定推出即可．
解答：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，
在△GAD和△ECD中

∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DG；

②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA=∠CDE，
∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∴DE⊥DG．

（2）解：如圖所示：；

（3）四邊形CEFK是平行四邊形，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，
在△KBC和△ECD中

∴△KBC≌△ECD（SAS），
∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，
∵∠B=90°，
∴∠KCB+∠BKC=90°，
∴∠KCB+∠DEC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°，
∵四邊形DGFE是正方形，
∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，
∴CK∥EF，
∴四邊形CEFK是平行四邊形．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，正方形性質的應用，主要考查學生的推理能力．