Question

如圖，直線AB交x軸于點A(2，0)，交拋物線于點B(1，)，點C到△OAB各頂點的距離相等，直線AC交y軸于點D．當x > 0時，在直線OC和拋物線上是否分別存在點P和點Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，求點P、Q的坐標；若不存在，說明理由．

附加題：在上題中，拋物線的解析式和點D的坐標不變(如下圖)．當x > 0時，在直線(0 < k < 1)和這條拋物線上，是否分別存在點P和點Q，使四邊形DOPQ為以OD為底的等腰梯形．若存在，求點P、Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：如圖①:

設直線AB的解析式為經過點A（2，0），B（1，），

∵，解得，∴

拋物線經過點B（1，），

，∴

又∵點C到△OAB各頂點距離相等，即點C是△OAB三邊的垂直平分線的交點，連接BC，并延長交OA于E，∴BE⊥OA，OE=AE,∴點E的坐標為（1，0）

在Rt△OEC中，CE=OE?tan30°=,∴C(1,)

設直線OC的解析式為，

∴=∴

設直線AC的解析式為，

解得，∴。∵直線AC交軸于點D，則點D（0，）OD=

當OD//PQ時，①DQ=OP時，四邊形DOPQ為等腰梯形（如圖①）

由題意得，△OCD為等邊三角形，∠CDO=∠COD，

∴Q是直線AD與拋物線的交點，

，解得

當時，，∴點Q的坐標為（，），

當時，,∴點P的坐標為（，）。

②∠ODQ=90°時，四邊形DOPQ為直角梯形（如圖②）

過點D（0，）且平行軸的直線交拋物線于點Q

=，解得=（負值舍去）

∴點Q的坐標為（，）

把=代入直線中，得

∴點P的坐標為（，）

當DQ//OP時，①OD=PQ時，四邊形DOPQ是等腰梯形，如圖①

過點D（0，）且平等于OC的直線為

，

交拋物線于點Q

∴，解得（舍）

把代入中，得，∴點Q的坐標為（1，）（與點B重合）

又∵△OCD為等邊三角形，∠DOC=∠BPO=60°

設過點Q（1，）且平等于AD的直線，交OC于點P，則，

∴

∴，解得=2

把=2代入中，�！帱cP的坐標為（2，），∴點P的坐標為（2，）

②∠OPQ=90°時，四邊形DOPQ為直角梯形

由上解法知，點Q的坐標為（1，）（與點B重合），過B與OC垂直的直線為AB，設OC與AB的交點為P，

∴，解得

∴點P的坐標為（，）

綜上所述：當P₁（，）、Q₁（，）和P₂（2，），Q₂（1，）（與點B重合）時，四邊形DOPQ為等腰梯形；當P₃（）、Q₃（）和P₄（）、Q₄（1，）（與點B重合）時，四邊形DOPQ直角梯形

附加題：

解：由第26題知點D（0，），拋物線為，設G為OD的中點，G（0，），過點G作GH垂直于軸，交直線于點H

連接DH，∴H（）

設直線DH為

∴，解得

∴直線DH：

直線DH與拋物線相交于點Q，

∴

解得

     =（負值舍去）

∴Q點的坐標為（），

P點坐標為（）