Question

已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD、BC相交于點E，點F是BD的延長線上的點，且DE平分∠CDF
（1）求證：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得證．
（2）證△ABD∽△AEB，通過相似三角形的對應(yīng)成比例線段，求出AE及DE的值．

解答：（1）證明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3
∴∠ABC=∠4
∴AB=AC；

（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE
∴△ABD∽△AEB
∴

AB

AE

=

AD

AB

∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=

AB2

AD

=

9

2

∴DE=

9

2

-2=

5

2

（cm）．

點評：本題綜合考查了角平分線，相似三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的常規(guī)題目．